TIPOS DE PERSPECTIVA DEL DIBUJO TÉCNICO

EXISTEN 4 TIPOS

Perspectiva caballera

La perspectiva caballera es un sistema de representación que utiliza la proyección paralela oblicua, en el que las dimensiones del plano proyectante frontal, como las de los elementos paralelos a él, están en verdadera magnitud.

Perspectiva caballera. La semicircunferencia paralela al plano frontal está en verdadera magnitud (sin sufrir deformaciones).

En perspectiva caballera, dos dimensiones del volumen a representar se proyectan en verdadera magnitud (el alto y el ancho) y la tercera (la profundidad) con un coeficiente de reducción. Las dos dimensiones sin distorsión angular con sus longitudes a escala son la anchura y altura (x, z) mientras que la dimensión que refleja la profundidad (y) se reduce en una proporción determinada. 1:2, 2:3 o 3:4 suelen ser los coeficientes de reducción más habituales.

Los ejes X e Z forman un ángulo de 90º, y el eje Y suele tener 45º (o 135º) respecto ambos.Se adoptan, por convención, ángulos iguales o múltiplos de 30º y 45º, dejando de lado 90º, 180º, 270º y 360º por razones obvias.

Se puede dibujar fácilmente un volumen a partir de una vista lateral o alzado, trazando a partir de cada vértice líneas paralelas a Y, para reflejar la profundidad del volumen.

Este tipo de proyección es frecuentemente utilizada por su facilidad de ejecución, aunque el resultado final no da una imagen tan real como la que se obtendría con unaproyección cónica.

En Latinoamérica se llama perspectiva caballera a la que utiliza un ángulo de 45º del eje Y respecto del eje X y ninguna reducción.

Trazado de la perspectiva caballera[editar]

Artículo principal: Escuadra

Para el trazado de la perspectiva caballera, empleando una escuadra, se coloca una regla inclinada a 45º que sirve de referencia para apoyar la escuadra sobre el lado adecuado según la inclinación de la recta a trazar. Las líneas de fuga de la perspectiva caballera, se trazan perpendiculares a la regla.

Si sobre los ejes ponemos las coordenadas de un punto, haciendo las paralelas correspondientes a los ejes, situamos en punto en el espacio, según la perspectiva caballera.

PERSPECTIVA ISOMETRICA [editar]

Una variedad muy utilizada de la Perspectiva Isométrica es el Dibujo Isométrico. En la Isométrica el coeficiente de reducción de las dimensiones . Al ser la reducción idéntica en los tres ejes el dibujo isométrico se realiza sin reducción, con las dimensiones paralelas a los ejes a escala 1:1 o escala natural, sin que cambie la apariencia del dibujo salvo en su tamaño. Esto permite tanto dibujar directamente estas dimensiones en el papel (lo que facilita el dibujo por coordenadas cartesianas como medir directamente en el dibujo las de un objeto. La apariencia del dibujo es idéntica aunque más grande, y las dimensiones que en la perspectiva correcta serían iguales a las reales (las paralelas al plano de proyección) son mayores.

La escala en que es mayor el Dibujo Isométrico respecto a la Perspectiva Isométrica es aproximadamente 1,22.

Aplicaciones[editar]

En diseño industrial se representa una pieza desde diferentes puntos de vista, perpendicular a los ejes coordenados naturales. Una pieza con movimiento mecánico presenta en general formas con ejes de simetría o caras planas. Tales ejes, o las aristas de las caras, permiten definir una proyección ortogonal.En el diseño y el dibujo técnico[editar]

Se puede fácilmente dibujar una perspectiva isométrica de la pieza a partir de tales vistas, lo que permite mejorar la comprensión de la forma del objeto.

En Arquitectura[editar]

En videojuegos[editar]La perspectiva de este dibujo del castillo no es isométrica, si así lo fuera, las torres del castillo estarían dibujadas con la misma altura y diámetro, además las líneas de cumbreras de los tejados serían paralelas entre si, formando un rombo o romboide dependiendo de la planta del castillo.

Cierto número de videojuegos pone en acción a sus personajes utilizando un punto de vista en perspectiva isométrica, o mejor dicho, en la jerga usual, en "perspectiva 3/4". Desde un ángulo práctico, ello permite desplazar los elementos gráficos sin modificar el tamaño, limitación inevitable para ordenadores con baja capacidad gráfica.

A fin de evitar el pixelado, en algunos casos se llevó la proyección a un sistema 2:1, vale decir a una inclinación de 26,6º (arctan 0,5) en lugar de 30º, que no corresponde a una proyección isométrica propiamente dicha, sino "dimétrica".

El progresivo incremento en las capacidades gráficas de los ordenadores ha posibilitado el uso cada vez más generalizado de sistemas de proyección más realistas, basados en la perspectiva naturalmente percibida por el ojo humano: la perspectiva cónica.

Aspectos matemáticos[editar]

Siendo la perspectiva isométrica una proyección geométrica sobre un plano según un eje perpendicular al mismo, sus características y relaciones pueden ser calculadas analíticamente mediante la trigonometría.

Factor de reducción sobre los ejes[editar]

α es también el ángulo entre la perpendicular al plano de proyección que pasa por el origen y por el punto (1,1,1) y la bisectriz de los ejes x e y que pasan por (1,1,0).Considerando la arista de un cubo que va desde el origen al punto (0,0,1), si su intersección con el plano de proyección define un ángulo α, la proyección tendrá una longitud equivalente al coseno de α.

el triángulo formado por los puntos (0,0,0), (1,1,0) y (1,1,1) es rectángulo, por lo que el segmento [(0,0,0),(1,1,0)] tiene una longitud equivalente a √2 (diagonal del cuadrado), el segmento [(1,1,0),(1,1,1)] tiene una longitud igual a 1, y la hipotenusa [(0,0,0),(1,1,1)] tiene una longitud √3.

En consecuencia:

\cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82

Puede deducirse que α ≈ 35,26 °.

Es posible también utilizar el producto escalar:

el vector unitario definido por la diagonal mayor es (1/√3, 1/√3, 1/√3);
la arista [(0,0,0),(0,0,1)] se proyecta sobre la diagonal mayor en un segmento de longitud k₁, y sobre el plano normal a la misma en un segmento de longitud k₂
k₁ es el producto escalar de $\vec{a}$ y de $\vec{b}$ , y se puede calcular mediante las coordenadas: $k_1 = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} + 0 \times 1/\sqrt{3} = 1/\sqrt{3}$
el teorema de Pitágoras nos indica que k₁² + k₂² = 1 (longitud de las aristas de un cubo)

En consecuencia:

k_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} \simeq 0,82

La longitud de los segmentos sobre los ejes de representación se proyectan con un factor de 0.82.

Se llega igualmente a esta conclusión utilizando la fórmula general de proyecciones ortogonales.

Por otro lado, si se considera el círculo unitario del plan (x,y), el rayo se proyecta según la línea de mayor pendiente, que es la primer bisectriz del plano, con un factor de proyección equivalente a sin α = k₁ = 1/√3 ≈ 0,58, que corresponde al eje menor de la elipse.

Transformación de coordenadas[editar].

La transformación de coordenadas cartesianas se utiliza para calcular las vistas a partir de las coordenadas de los puntos, por ejemplo en el caso de un juego de vídeo, o de simulación 3D.

Suponiendo un espacio provisto de una base ortonormal directa

(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})

. La proyección P se realiza según el vector

\vec{u}

de componentes (1,1,1), es decir el vector

\vec{u} = \vec{e_1} + \vec{e_2} + \vec{e_3}

, según el plano representado por ese mismo vector.

Como toda aplicación lineal, puede estar representado por la transformación de los vectores de la base, más un vector

\vec{v} = v_1 \cdot \vec{e_1} + v_2 \cdot \vec{e_2} + v_3 \cdot \vec{e_3}

que se transforma según

P(\vec{v}) = P(v_1 \cdot \vec{e_1} + v_2 \cdot\vec{e_2} + v_3\cdot\vec{e_3})

P(\vec{v}) = v_1 \cdot P(\vec{e_1}) + v_2 \cdot P(\vec{e_2}) + v_3\cdot P(\vec{e_3})

Sea

\vec{e'_n} = P(\vec{e_n})

. LLamamos

(\vec{i},\vec{j})

a la base ortonormal directa sobre el plano de proyección.

Elegimos arbitrariamente que

\vec{e'_1}

hace un ángulo de -π/6 con

\vec{i}

La aplicación particular del cálculo a las proyecciones ortogonales en la perspectiva isométrica resulta:

$\vec{e'_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j}$ ; $k_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\vec{e'_2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j}$ ; $k_2 = k_1$
$\vec{e'_3} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \vec{j}$ ; $k_3 = k_1$

La matriz de la proyección M_P es en consecuencia:

M_P = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ - \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{6}} & \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \end{pmatrix}

Considerando un punto (x, y, z) del espacio que se proyecta en (x', y'), su proyección será:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = M_P \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} (x-y) \\ \sqrt{\frac{2}{3}} z - \frac{1}{\sqrt{6}} (x + y) \\ \end{pmatrix}

Transformación de un círculo del plano conteniendo dos ejes[editar]

Si consideramos el círculo trigonométrico del plano

(\vec{e_1},\vec{e_3})

, las coordenadas paramétricas de sus puntos serán:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \\\end{pmatrix}

Las coordenadas de los puntos proyectados en la base

(\vec{i},\vec{j})

serán:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \theta - \sin \theta) \\ - \frac{1}{\sqrt{6}}(\cos \theta + \sin \theta) \\ \end{pmatrix}

La distancia al origen es

r = \sqrt{x'^2 + y'^2}

, siendo

r^2 = \frac{2}{3} \left ( 1 - \sin \theta \cdot \cos \theta \right ) = \frac{2}{3} \left ( 1 - \frac{1}{2}\cdot \sin 2\theta \right )

Esta distancia varia en consecuencia entre 1 y

\sqrt{1/3} \simeq 0,58

Perspectiva militar

perspectiva militar o cabinet es una proyección paralela oblicua, un sistema de representación por medio de tres ejes cartesianos (X, Y, Z).

En el dibujo, el eje Z es el vertical, mientras que los otros dos (X, Y) forman 90° entre sí, determinando el plano horizontal (suelo). Normalmente, el eje X se encuentra a 120° del eje Z, mientras que eje Y se encuentra a 150° de dicho eje.

La principal ventaja radica en que las distancias en el plano horizontal conservan sus dimensiones y proporciones. Las circunferencias en el plano horizontal se pueden trazar con compás, pues no presentan deformación. Las circunferencias en los planos verticales se representan como elipses.

Para la realización del dibujo, se aplica un coeficiente de reducción en los ejes cartesianos. En la perspectiva militar el eje afectado es el eje Z, presentando una reducción de 2/3. Los otros dos ejes (X, Y) no tienen reducción.

La perspectiva militar es un sistema de representación hipotético, debido a que la única forma de que presenten 90° los ejes X e Y, sólo sería mirando el cuerpo desde arriba.

Trazado de la perspectiva militar[editar]

Artículo principal: Cartabón

El eje z es vertical, el eje x forma un ángulo de 30º con la horizontal, y el eje y es perpendicular al eje x, esto es forma un ángulo de 60º con la horizontal, por tanto coinciden con las características del cartabón, como podemos ver.

Poniendo una regla horizontal podemos trazar el eje vertical empleando el ángulo recto del cartabón, con el vértice de 30º trazamos el eje x, y perpendicular a él con el vértice de 60º el eje y.

Situando las coordenadas de un punto sobre los ejes, y trazando las rectas paralelas oportunas podemos ver la perspectiva del punto según el sistema militar.

Artículo principal: Escuadra

Con una regla horizontal y una escuadra, también se puede trazar una forma de perspectiva milital con eje z vertilal y los ejes x e y formando 45º sobre la horizontal.

Perspectiva trimétrica

La perspectiva trimétrica es una proyección axonométrica, para representar volúmenes, en la cual el objeto tridimensional se encuentra inclinado con respecto al «plano del cuadro» de forma que sus tres ejes principales experimentan reducciones diferentes.

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martes, 5 de mayo de 2015